Trigonometric identities पर आधारित प्रश्नों को हल करना सीखें

नमस्ते दोस्तों ,Trigonometric identities पर आधारित ज्यादा तर प्रश्न competitive exams में जरुर पूछे जायेगें so आज हम Trigonometric identities पर आधारित कुछ basic प्रश्नों को हल करना सीखेगें.Trigonometric identities को  हिंदी में त्रिकोंमितीय सर्वसमिका कहा जाता है.

दोस्तों इस पोस्ट को पढ़ने से पहले आपको trigonometry के कुछ basic concept को जानना जरुरी है यदि आप trigonometry में बिलकुल नए है so सबसे पहले निचे दिया गया पोस्ट जरुर पढ़ लीजिये-

• Trigonometry के basic question को solve करना सीखें
• Special angles trigonometric ratios से सम्बंधित प्रश्न हल करें
• Complementary angles trigonometric ratios पर आधारित प्रश्न हल करें

Trigonometric identities पर आधारित basic concept

कोई भी trigonometric equation ( त्रिकोंमितितीय समीकरण ) को  trigonometric identities (त्रिकोणमितिय सर्वसमिका )  कहा जाता है जब यह दिए गए सभी चर मानों के लिए सत्य हो अब हम इसको निचे दिए गए fig से समझने का प्रयास करेंगे-

जैसा की ऊपर fig में दिखाया गया है त्रिभुज Δ ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण C =90० (समकोण)  है.

so कोण A के लिए लम्ब (l ) = BC , आधार (b)= AC , कर्ण (h) = AB

चुकी ABC एक समकोण त्रिभुज है इसलिए इसमे पैथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर –

=>(लम्ब) 2 + (आधार) 2  = कर्ण  2

so , l2  + b2 = h2  ————–(1)

अब दोनों पक्षों में h2 का भाग देने पर

=> (l/h)2 + (b/h)2 =(h/h)2

हम जानते है की ,sin A = l/h और cos A = b/h का मान दिए गए समीकरण में रखने पर

so  sin 2 A + cos 2 A = 1    

अब दिए गए समीकरण (1) में b 2  का भाग देने पर

 =>l2  + b2 = h2  ————–(1)

so , (l/b)2  + (b/b)2 =(h/b) 2

हम जानते है की – tan  A = l /b , sec A = h/ b का मान दिए गए समीकरण में रखने पर

so , 1 + tan 2 A = sec 2  A

अब दिए गए समीकरण (1) में l 2  का भाग देने पर

 =>l2  + b2 = h2  ————–(1)

so , (l/l)2  + (b/l)2 =(h/l) 2

हम जानते है की – cot  A = b/l , cosec A = h/ l का मान दिए गए समीकरण में रखने पर

so , 1 + cot 2 A = cosec 2 A

अब हम इसके आलावा कुछ विसेस identities के बारे में सिखाने का प्रयास करेंगे

sin A . cosec A = l/h *h /l =1

so , sin A . cosec A = 1

similarly , tan A .cot A = l/b * b /l = 1

so , tan A . cot A = 1 

similarly , cos A .sec A = b/h * h/b = 1

so , cos A .sec A =1

ठीक इसी प्रकार , sin A /cos A =(l/h)/(b /h )=l/b = tan A

so , sin A /cos A = tan A

similarly , cos A /sin A =(b/h)/(l/h)=b /l =cot A

so , cos A /sin A = cot A 

• Geometry के Basic Concept को समझने का प्रयास करिए
• Idioms Phrases को हमेसा अपने दिमाग में याद रखें
• Sentence क्या है यह कितने प्रकार का होता है उदहारण के साथ समझें

Some important trigonometric identities for problem solving

दोस्तों यदि आप आसानी से trigonometric identities के प्रश्नों को हल करना चाहते है तो निचे दिए गए फोर्मुले को याद करलें

1. sin 2 A + cos 2 A =1
2. sin 2 A = 1 – cos 2 A
3. cos 2 A = 1 – sin 2 A
4. sin  A = √(1 – cos 2 A)
5. cos  A = √(1 – sin 2 A)
6. sec 2 A – tan 2 A = 1
7. sec 2 A = 1 + tan 2 A
8. tan 2 A = sec 2 A – 1
9. sec  A = √(1 + tan 2 A)
10. tan  A = √(sec 2 A – 1)
11. cosec 2 A – cot 2 A = 1
12. cosec 2 A = 1 + cot 2 A
13. cot 2 A = cosec 2 A – 1
14. cosec  A = √(1 + cot 2 A)
15. cot  A = √(cosec 2 A – 1)
16. sin A .cosec A =1
17. sin A =1/cosec A
18. cosec A =1 /sin A
19. tan A .cot A =1
20. tan A =1 /cot A
21. cot A =1 /tan A
22. cos A . sec A  =1
23. sec A =1 /cos A
24. cos A =1/sec A
25. tan A= sin A /cos A= sec A /cosec A
26. cot A =cos A /sin A =cosec A /sec A

अब हम ऊपर दिए गए फोर्मुले के मदद से trigonometry के कुछ basic प्रश्नों को हल करेगे

• Noun किसे कहते है और Noun कितने प्रकार के होते है उदहारण के साथ समझें
• person और इसके प्रकार को English grammar में example के साथ समझें
• परिमेय संख्या की तुलना करने की सबसे आसान तरीका सीखें

Q(1)cos A , tan A और sec A को sin A के पदों में लिखें.

हल :- हम ऊपर दिए गए फोर्मुले का प्रयोग करेंगें

(i) cos A = √(1 – sin 2  A)  Ans

(ii) tan A = sin A /cos A = sin A /√(1 – sin 2  A) Ans

(iii) sec A =1 /cos A = 1 / √(1 – sin 2  A) Ans

Q(2)sin A , tan A और sec A को cot A के पदों में ब्यक्त करें

हल :- (i) sin A = 1 /cosec A = 1 /√(1 + cot 2  A) Ans

(ii) tan A =  1 /cot A  Ans

(iii) sec A =√(1 + tan  2  A) =√(1 + (1/cot 2 A))  Ans

Q(3) कोण A के सभी त्रिकोण मितिय अनुपातों को sec A के पदों में ब्यक्त करिए.

हल :- (i) sin A = √(1 – cos 2 A) =√(1 – 1/sec 2 A) =√(sec 2 A -1) /sec A  Ans

(ii) cos A = 1 /sec A Ans

(iii)tan A =√(sec 2 A -1) Ans

(iv) cot A = 1 / √(sec 2 A -1) Ans

(v) sec A =sec A  Ans

(vi) cosec A = 1 /sin A = sec A /√(sec 2 A -1) Ans

Q(4) (sin 2 63 + sin 2 27) / (cos 2 17 + cos 2 73 ) का value ज्ञात करें ?हल :- (sin 2 63 + sin 2 27) / (cos 2 17 + cos 2 73 )

हम जानते है की sin 27 = sin (90 -63 ) = cos 63

similarly , cos 17 = cos (90 – 73 )=sin 73

अब ऊपर दिए गए value को दिए गए समीकरण में रखने पर

=>(sin 2 63 + sin 2 27) / (cos 2 17 + cos 2 73 )

so , (sin 2 63 + cos 2 63) / (sin 2 73 + cos 2 73 )

हम जानते है की sin 2 A + cos 2 A = 1

so , 1 /1 = 1 Ans

Q(5) sin 25 . cos 65 +cos 25 .sin 65  का मान ज्ञात करिए.

हल :- हम जानते है की  sin 25 =sin (90 – 65) =cos 65

similarly , cos 25 =cos (90 – 65) =sin 65

अब इसका value ऊपर दिए गए प्रश्न में रखने पर

sin 25 .cos 65 +cos 25 .sin 65

so , cos 65 . cos 65 + sin 65 .sin 65

so , cos 2 65 + sin 2 65 =  1 Ans 

• दो परिमेय संख्याओ के बिच परिमेय संख्या निकालने का सबसे आसान तरीका सीखें
• Ion Electron Method के प्रयोग से Redox Chemical Equation को balance करें
• Algebraic Identities पर आधारित Questions आसानी से Solve करे

Q(6) 9 sec 2 A – 9 tan 2 A का मन ज्ञात करिए.

हल :- 9 sec 2 A – 9 tan 2 A

so ,  9 (sec 2 A –  tan 2 A)

हम जानते है की ,sec 2 A –  tan 2 A = 1

so , 9 (sec 2 A –  tan 2 A) =9 * 1 = 9 Ans

Q(7)(sec A + tan A ) (1 – sin A ) का मान ज्ञात कीजिये.

हल :- (sec A + tan A ) (1 – sin A )

so,  (1 /cos A  + sin A /cos A )(1 – sin A )

so , ((1 + sin A)/cos A )(1 – sin A)

so , (1 – sin 2 A )/cos A = cos 2 A /cos A =cos A Ans

Q(8)(1 + tan 2 A) /(1 + cot 2 A) का value ज्ञात कीजिये.

हल :- (1 + tan 2 A) /(1 + cot 2 A)  =sec 2 A /cosec 2 A

so , (1 /cos 2 A ) /(1 / sin 2 A)

so , sin 2 A /cos 2 A = tan 2 A   Ans

Q(9) सिद्ध कीजिये की sec A (1 – sin A ) . (sec A + tan A ) = 1

हल :-L.H.S = sec A (1 – sin A ) . (sec A + tan A )

so , (1 /cos A )(1 – sin A) . (1 / cos A + sin A/cos A )

so , (1 – sin A)/cos A  * (1 +sin A )/cos A

so , (1 -sin 2 ) /cos 2 A = cos 2 A /cos 2 A = 1 = R . H . S proved

Q(10) सिद्ध कीजिए की  (cosec A – cot A )2 = (1 – cos A) /(1 + cos A )

हल :- L . H . S = (cosec A – cot A )2  = ((1 /sin A ) – (cos A /sin A ))2

so , {(1 – cos A) /sin A }2 = (1-cos A)2 /sin 2 A

so , (1 -cos A)(1 -cos A)/(1 – cos 2 A)

so , (1 -cos A)(1 – cos A)/(1 – cos A)(1 + cos A)

so , (1 -cos A) /(1 +cos A) =R .H .S  proved

Q(11) सिद्ध कीजिये  (1 – tan A)2 /(1 -cot A) 2 = tan 2 A 

हल :- L . H . S = (1 – tan A)2 / (1 – cot A)2 

so , {(sin A -cos A)/cos A} 2 /{(sin A -cos A)/sin A } 2

so , sin 2 A /cos 2 A = tan 2 A = R . H . S proved

दोस्तों ऊपर दिए गए Trigonometric identities के प्रश्नों को आपने एक बार अवश्य प्रैक्टिस कर लो

मै आपसे वादा करता हु की आप Trigonometric identities के basic प्रश्नों को हल करने में कभी नहीं फसेगे.

• Polynomial Function पर आधारित basic अनुप्रयोगों को समझें

• वास्तविक संख्या से सम्बंधित अनुप्रयोगों पर आधारित प्रश्नों को हल करना सीखें

हम इस पोस्ट में केवल हमने Trigonometric identities बारे में  चर्चा किया है So यदि आप Trigonometric identities को समझना चाहते है तो ऊपर दिए गए फोर्मुले और नियमों  को हमेसा अपने दिमाग में याद रखें.

So यदि आपके दिमाग में इस टॉपिक से Related कोई भी प्रश्न हो तो हमें जरुर कमेंट करें  मै आपसे वादा करता हूँ आपको आपके प्रश्न का हल जरुर दिया जायेगा.

दोस्तों finally मै आसा करता हु की Trigonometric identities के Basic Concept आपको समझ में आ गया होगा  So यदि इस पोस्ट में आपको कोई doubt हो या कुछ न समझ में आया हो  तो हमें कमेंट के जरिये बताये  यदि आपको हमारा यह पोस्ट पसंद आया हो तो इसे like करे share करे-

यदि आप student है तो आपको निचे दिए गए पोस्ट भी जरुर पड़ना चाहिए-

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• किसी product का unit digit number निकलना सीखें

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