Algebraic Identities पर आधारित Questions आसानी से Solve करे

Algebraic Identities पर आधारित question को solve करे

हेल्लो दोस्तों ,आज हम Algebraic Identities पर आधारित प्रश्नों को हल करना सीखेगे,तो first of all हम Algebraic Identities को इसके definition(परिभासा) से समझने का प्रयास करते है-

 यदि  इसे आपको अच्छे से समझने में समस्या हो रही है first of all निचे दिए गए पोस्ट एक बार अवश्य पढ़ लें.

• वास्तविक संख्याओं से सम्बंधित अनुप्रयोगों पर आधारित प्रश्नों को हल करना सीखें

• Polynomial Function पर आधारित basic अनुप्रयोगों को समझें

Algebraic Identities (बिजिय सर्वसमिका ) :- 

Algebraic Identities एक इसे बिजिय समीकरण को कहा जाता है जो की दिए गए सभी चरों के लिए सत्य होती है.इसको हम निचे दिए गए सर्वसमिकाओं से समझने का प्रयास करते है –

1. (x + y)2  =x2 +2xy +y2
2. (x – y)2   =x2 -2xy +y2
3. x2 – y2     =(x+y) (x-y) 

माना की x =5 है और y = 3 है ,अब हम इस value को ऊपर दिए गए तीनों Algebraic Identities में रख कर देखते है –

(i) (x + y)2  = x2 +2xy +y2

L.H.S =(x +y)2  =(5 +3 )2  =82 =64

R.H.S = x2 +2xy +y2  =52 +2.5.3 +32  =25 +30 +9 =64

L.H.S = R.H.S  Proved

Note :- यहाँ पर  L.H.S और  R.H.S का Full Form निचे दिया गया है इसे हमेसा याद रखें –

L.H.S  =Left Hand Side (बायाँ पक्ष )

R.H.S =Right Hand Side(दायाँ पक्ष)

ऊपर दिया गया (.) sign का मतलब multiply करना है .

(ii) (x – y)2  = x2 -2xy +y2

L.H.S =(x -y)2  =(5 -3 )2  =22 =4

R.H.S = x2 -2xy +y2  =52 -2.5.3 +32  =25 -30 +9 =4

L.H.S = R.H.S  Proved

(iii) (x + y)(x-y)  = x2 – y2

L.H.S =(x +y) (x  – y)  =(5 +3 )(5-3)  =8*2 =16

R.H.S = x2 -y2  =52  – 32  =25  – 9 = 16

L.H.S = R.H.S  Proved

दोस्तों  finally आपको algebraic identities का मतलब तो समझ में आ गया होगा ,आज हम अबतक के जितने भी identities है जो  हमारे basic और  Advance level के प्रश्नों को हल करने के लिए काम में आता है हम देखेगें और समझने का प्रयास करेंगे-

List of Basic Algebraic Identities (बिजिय सर्वसमिकाओं का संग्रह)

इनमें से कुछ महत्वपूर्ण algebraic  identities को coloring  कर दिया गया है इसे हमेसा याद रखें –

1. (a+b)2  = a2 +2ab+ b2  =(a-b)2 +4ab

2. (a- b )2  =a2  -2ab  +b2  =(a+b)2 – 4ab

3. (a2 -b2 )=(a+b)(a-b)

4. (a+b)2 +(a-b)2  = 2 ( a2 +b2)

5. (a+b)2 -(a-b)2  = 4ab

6. a2 + b2 = (a+b)2-2ab =(a-b)2 +2ab

7. ab=(a+b)/2  -(a-b)/2

8. (x+a)(x+b)= x2 +(a+b)x+a.b

9. (x-a)(x-b)= x2 -(a+b)x+a.b

10. (x+a)(x-b)= x2 +(a-b)x – a.b

11. (x – a)(x+b)= x2 -(a-b)x+a.b

12. (x+y + z)2  =x2 +y2 +z2 +2xy +2yz +2xz = x2 +y2 +z2 +2( xy +yz +xz )

13. a2 + b2 +c2 = (a+b+c)2  -2(ab+bc+ca)

14. (x – y + z)2  =x2 +y2 +z2 -2xy – 2yz +2xz

15.  (x+y – z)2  =x2 +y2 +z2 +2xy -2yz – 2xz

16.  (x – y – z)2  =x2 +y2 +z2 – 2xy +2yz -2xz

17. x3 +y3 = (x+y)(x2 +y2 – xy) =(x+y)3 -3xy (x+y)

18. x3 – y3 = (x-y)(x2 +xy +y2 )=(x-y)3 + 3xy(x-y)

19.  (x+y)3 = x3 +y3 +3xy(x+y)= x3+y3 +3x2y +3xy2

20. (x-y)3 =x3 -y3 -3xy (x-y) = x3 – y3 -3x2y +3xy2

21. x3 +y3+z3 -3xyz = (x+y+z)(x2  + y2 + z2  -xy -yz -xz)

22. x3 – y3 – z3 -3xyz = (x-y-z)(x2  + y2 + z2  + xy -yz +xz)

23. 2b2c2 +2c2a2 +2a2b2 -a4 -b4 -c4  =(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

24. यदि x +y +z =0 , तब   x3 + y3  + z3  =  3xyz

25. (a-b)3 +(b-c)3 +(c-a)3  = 3(a-b)(b-c)(c-a)

26. (a+b)3 +(a-b)3 =2a (a2 + b2)

27. (a+b)3 – (a-b)3 =2b (a2 + b2)

28. (a2  +ab +b2 )(a2 -ab +b2 ) =a4 +a2b2 +b4

29. a2 + b2 + c2 -ab -bc -ca = 1/2[(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 ]

30. (x+a)(x+b)(x+c) = x3  + (a+b+c)x2 +(ab+bc+ca)x +abc

31. (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc =(a+b)(b+c)(c-a)

32. (a+b)(b+c)(c+a)=a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) +2abc

33. (a+b)(b+c)(c+a)=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b) +2abc

34. (a+b)(b+c)(c+a)=a(b2 +c2) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2)

35. a2(b-c) +b2(c-a) +c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a)

36. a2(b2 -c2)+ b2(c2 – a2 )+c2(a2 – b2 ) =(a-b)(b-c)(c-a)

37. ab(a-b)+bc(c-a)+ca(c-a) =-(a-b)(b-c)(c-a)

38. (a+b+c)3 -a3 -b3 -c3 =3(a+b)(b+c)(c+a)

39. (a+b+c)3 =(a3 +b3 +c3 )+3(a+b)(b+c)(c+a)

40. a3 +b3 +c3 =(a+b+c)3 -3(a+b)(b+c)(c+a)

41. यदि a+b+c =0 तो a3 +b3 +c3 =3abc  &&  a4 +b4 +c4 =2(b2 c2 +c2a2 +a2 b2)

42. (a-b)2 =( b-a )2

43. (a-b)3 =-(b-a)3

44. (a-b)+(b-c)+(c-a)=0

45. c(a-b)+a(b-c)+b(c-a)=0

46. (a-k)(b-c)+(b-k)(c-a)+(c-k)(a-b)=0

47. a4 – b4 =(a2  +b2)(a+b)(a-b)

48. (a6 -b6 )=(a3 +b3 )(a3 – b3)=(a+b)(a-b)(a2 -ab+ b2 )(a2 + ab+ b2)

49. a-b = (√a +√b)(√a -√b)

50. 2(a+b)=(√a +√b)2  +(√a -√b)2

Algebraic identities को proof करना सीखें

दोस्तों इसमें से कुछ Algebraic Identities जिनका उपयोग हमारे basic algebraic प्रश्नों को हल करने में किया जाता है इसको हम इसके proof के साथ समझने के प्रयास करेंगे. और इससे सम्बन्धित प्रश्नों को हल करना सीखेगें-

(1). (a+b)2  = a2 +2ab+ b2  = (a-b)2 +4ab

proof:- L.H.S = (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a(a+b)+b(a+b)

=a2 +ab +ab +b2 = a2 +2ab +b2

     (a+b)2  = a2 +2ab+ b2  proved

अब  माना, L.H.S =  a2 +2ab+ b2 

=a2 +2ab+ b2  -4ab+4ab =a2 + b2 +(2ab -4ab ) +4ab

=(a2 + b2 -2ab) +4ab   =(a-b)2 +4ab

=>  (a+b)2 =(a-b)2 + 4ab  proved

(2). (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x +ab

proof:- L.H.S =(x+a)(x+b) =x(x+b)+a(x+b)

=x2 +ax +bx  +ab =x2 +x(a+b)+ab =R.H.S Proved

(3). (x+y + z)2  =x2 +y2 +z2 +2xy +2yz +2xz = x2 +y2 +z2 +2( xy +yz +xz )

Proof:-L.H.S = (x+y + z)2   =(x+y+z)(x+y+z)

=x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z)

=x2 +xy +xz+xy +y2 +yz++xz+zy+z2 =x2 +y2 +z2 +2xy +2yz +2xz

अतः  x2 +y2 +z2 +2xy +2yz +2xz = x2 +y2 +z2 +2( xy +yz +xz ) =R.H.S proved 

(4). (a+b)2 +(a-b)2  = 2 ( a2 +b2)

proof:- L.H.S =(a+b)2 +(a-b)2

=a2 +b2 +2ab +a2 +b2 – 2ab

=2a2 + 2 b2 =2 (a2  + b2  ) =R.H.S Proved 

दोस्तों ,finally हमें आशा है की आपको ये important algebraic identities को proof करना समझ में आ गया होगा, वैसे सारे identities का में proof करना आवश्यक नहीं है ,यदि आप करना चाहते है तो Polynomial function पर आधारित प्रश्नों का हल करना सीखे  वाला पोस्ट एक बार अवश्य पढ़ लें.

• रोमन संख्या लिखने के नियम और इसपर आधारित प्रश्नों को हल करना सीखें

• घडी के घंटे और मिनट के सुइयों बिच का कोण निकालना सीखें

Algebraic Identities पर आधारित कुछ basic प्रश्न और उनके हल

अब हम Algebraic Identities पर आधारित कुछ basic प्रश्न निचे दिए गए है इसको हम दिए गए identities फोर्मुले का उपयोग करके हल कारन सीखेगें-

Q1.(x+3)(x+5) का गुणनफल ज्ञात करें.

हल:-(x+3)(x+5)

अब हम इस प्रश्न को निचे  दिए गए identities से हल करेंगे

(x+a)(x+b)=x2 +x(a+b)+ab

अब हम इस identities का दिए गए प्रश्न से तुलना करेंगे तो a =3 और b =5 प्राप्त होगा अब इसका value हम दिए गये identities में रखते है

(x+a)(x+b)=x2 +x(a+b)+ab

(x+3)(x+3)=x2 +x(3+5)+3.5 =x2 +8x  + 15  Ans

  Q2.(x+3)2 का गुणनफल ज्ञात करें.

हल :- हम जानते है की ,(a+b)2 =a2 +2ab +b2

(x+3)2 =x2 +2.x.3 +32 =x2 +6x +9 Ans

Q3.(x-3)(x+5) का गुणनफल ज्ञात करें.

हल :- हम जानते है की ,  (x+a)(x+b)=x2 +x(a+b)+ab

इस प्रश्न को प्रश्न को Q1 जैसा हल करेंगे

(x-3)(x+5)=x2 +(-3+5)x +(-3)(-5) =x2 +2x -15 Ans

Q4.(3a+4b+5c)2 को प्रसारित रूप में लिखिए.

हल:-हम जानते है की,  (x+y + z)2  =x2 +y2 +z2 +2xy +2yz +2xz

अब दिए गए identities का प्रश्न के साथ तुलना करने  पर x=3a ,y =4b और z =5c हमें प्राप्त होता है अब इसका value दिए गए identities में रखने पर

(3a+4b+5c)2  = (3a)2 +(4b)2  +(5c)2  + 2.3a.4b +2.4b.5c +2.3a.5c

=9a2 +16b2 +25c2 +24ab + 40bc + 30ac Ans

Q5.(4a-2b-3c)2 को प्रसारित रूप में लिखें .

हल :-हम जानते है की,  (x+y + z)2  =x2 +y2 +z2 +2xy +2yz +2xz

अब दिए गए identities का प्रश्न के साथ तुलना करने  पर x=4a ,y =-2b और z =-3c हमें प्राप्त होता है अब इसका value दिए गए identities में रखने पर

(4a-2b-3c)2 =(4a)2 +(-2b)2  +(-3c)2  + 2.4a.(-2b) +2.(-2b).(-3c) +2.4a.(-3c)

=16a2 +4b2 +9c2  – 16ab + 12bc  – 24ac Ans

दोस्तों मै आसा करता हु की algebraic identities पर आधारित questions  हल करना आपको आ गया होगा ,यदि इस पोस्ट में आपको कोई doubt हो या कुछ न समझ में आया हो  तो हमें कमेंट के जरिये बताये  यदि आपको हमारा यह पोस्ट पसंद आया हो तो इसे like करे share करे-

यदि आप student है तो आपको निचे दिए गए पोस्ट जरुर पड़ना चाहिए-

• रासायनिक समीकरण को संतुलित करना सीखें

• किसी product का unit digit number निकलना सीखें

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