Trigonometry के basic question को solve करना सीखें

नमस्कार दोस्तों , आज हम Trigonometry  के basic question को हल करना सीखेंगे. Trigonometry  का अविष्कार J.P Herbart ने 1890 ई० में किया था .Trigonometry  को हम हिंदी में त्रिकोंमिति कहा जाता है. Trigonometry  के basic question को हल करने के लिए हम समकोण त्रिभुज का  सहारा लेते है.

Tr`igonometry गणित का एक बहुत ही महत्त्वपूर्ण हिस्सा है इसके बिना गणित अधुरा है इस पोस्ट में हम Trigonometry के केवल basic concept का चर्चा करेंगे जो की आपको जानना बहुत ही जरुरी है

Trigonometry के basic concept को समझें

दोस्तों Trigonometry को basic से समझने के लिए हमें कुछ basic terms का definition को समझाना होगा तो चलिए दोस्तों समझने का प्रयास करते है.

• Geometry के Basic Concept को समझने का प्रयास करिए

• परिमेय संख्या की तुलना करने की सबसे आसान तरीका सीखें

Trigonometry (त्रिकोणमिति) :-

Trigonometry गणित का वह शाखा है जिसमे हम त्रिभुज को भुजाओं और कोणों में संबंधो का अध्यन किया जाता है और त्रिभुज के किसी कोण के सापेक्ष त्रिभुज के भुजाओ के अनुपात को हम कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कहते है .

Basic त्रिकोंणमिति का अध्यन हम सामान्यतः समकोण त्रिभुज में करते है जैसा की निचे fig में दिखाया गया है

समकोण त्रिभुज (Right angle triangle ) :-

वैसे त्रिभुज जिसकी एक कोण समकोण हो समकोण त्रिभुज (Right angle triangle) कहलाता है .ऊपर दिए गए fig में कोण B समकोण है.और AB ,BC ,CA त्रिभुज की भुजाएं है. 90० के कोण को समकोण कहा जाता है.

लम्ब (Length) :- 

किसी समकोण त्रिभुज में न्यून कोण के सम्मुख दिए गए भुजा को हम लम्ब(length) कहते है. इसको हम l द्वारा दिखाते है.

ऊपर दिए गए त्रिभुज में कोण C और A न्यून कोण है.

ऊपर दिए गए fig में कोण C के सामने वाला भुजा (सम्मुख भुजा ) AB है इसलिए कोण C के लिए लम्ब AB है और और कोण A का सम्मुख भुजा BC है इसलिए कोण A के लिए लम्ब BC है.

लम्ब को हम सम्मुख भुजा भी कहते है.

आधार (Base) :-

किसी समकोण त्रिभुज में किसी दिए गए न्यून कोण के सलग्न भुजा को हम आधार (base) कहते है.इसको b के द्वारा दर्शाया जाता है .

ऊपर दिए गए त्रिभुज में C का सलग्न भुजा BC है इसलिए कोण C के लिए BC आधार है. ठीक इसीप्रकार A का सलग्न भुजा AB है इसलिए कोण A के लिए AB आधार है .

आधार को हम सलग्न भुजा भी कहते है .

कर्ण (hypotenuse) :-

किसी दिए गए समकोण त्रिभुज में समकोण (90०) के सामने वाला भुजा को कर्ण कहते है . किसी समकोण त्रिभुज में केवल एक ही कर्ण होता है. इसको h के द्वारा दिखाया जाता है.

उपर दीए गए त्रिभुज में AC कर्ण है . यह 90० के सामने वाला भुजा है . कर्ण त्रिभुज का सबसे बड़ी भुजा होती है .

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem):-

किसी समकोण त्रिभुज में इसके कर्ण का वर्ग इसके शेष भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होते है.

मान लिया की ऊपर दिए गए त्रिभुज में कोण  C के लिए AB लम्ब है और BC आधार है. तो दिए गए theorem के अनुसार हम इसे इसप्रकार लिख सकते है.

 कर्ण  2  =  लम्ब 2 + आधार 2

h2   =   l2  +  b2

 AC 2  = AB 2 + BC 2 

उदहारण :- मान लिया l = 3 ,b =4 , h =5 .

32 + 42 = 5 2

=> 9 +16 = 25

अर्थात l ,b  और h के दिए गए मान पैथागोरस प्रमेय को सत्यापित करती है.

• दो परिमेय संख्याओ के बिच परिमेय संख्या निकालने का सबसे आसान तरीका सीखें

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त्रिकोणमितीय अनुपात ( Trigonometrical Ratio ):-

किसी समकोण त्रिभुज में किसी कोण के सापेक्ष इसके भुजाओं के अनुपात को त्रिकोंमितीय अनुपात कहा जाता है. इसको हम ऊपर दिए गए समकोण त्रिभुज से समझने का प्रयास करेंगे . कोण को सामान्यतः  θ के द्वारा  दिखाया जाता है

निचे दिए गए त्रिकोंमितीय अनुपात को हमेसा अपने दिमाग में याद रखें.

1. लम्ब को सम्मुख भुजा कहा जाता है .इसको l के द्वारा दिखाया जाता है.
2. आधार को हमेसा सलग्न भुजा कहा जाता है इसको b द्वारा दिखाया जाता है.
3. कर्ण को हमेसा h के द्वारा दिखाया जाता है.

दिए गए त्रिकोंमितीय अनुपात को पाठक गण पूरी तरह से कंठस्त कर लें.

1.  Sin θ = लम्ब  /कर्ण   =l/h
2. Cos θ = आधार /कर्ण  =b/h
3. Tan θ = लम्ब /आधार  =l /b
4. Cot θ = आधार /लम्ब  =b/l
5. Sec θ = कर्ण /आधार  =h /b
6. Cosec θ = कर्ण /लम्ब = h /l

यदि ऊपर दिए गए त्रिभुज में θ यदि कोण ∠C हो तो त्रिकोणमितिये अनुपात कुछ इसप्रकार होगें –

1. Sin C  = लम्ब  /कर्ण    = l/h = AB /AC
2. Cos C  = आधार /कर्ण  =b/h =BC /AC
3. Tan C  = लम्ब /आधार  =l /b =AB /BC
4. Cot C   = आधार /लम्ब  =b/l =BC /AB
5. Sec C   = कर्ण /आधार  =h /b =AC/BC
6. Cosec C = कर्ण /लम्ब  = h /l =AC /AB

यदि ऊपर दिए गए त्रिभुज में θ यदि कोण A हो तो त्रिकोणमितिये अनुपात कुछ इसप्रकार होगें –

1. Sin A = लम्ब  /कर्ण   =l/h    =BC/AC
2. Cos A  = आधार /कर्ण  =b/h = AB/AC
3. Tan A = लम्ब /आधार  =l /b =BC/AB
4. Cot A= आधार /लम्ब  =b/l    = AB/BC
5. Sec A= कर्ण /आधार  =h /b   = AC /AB
6. Cosec A = कर्ण /लम्ब = h /l = AC /BC

दोस्तों इन त्रिकोणमितिय अनुपातों को याद रखना बड़ा ही मुसकिल काम होता है इसके लिए निचे दिए गए ट्रिक का सहारा ले सकते है –

LAL /KKA :-

यहाँ पर L का मतलब लम्ब है A का मतलब आधार है और K का मतलब कर्ण है.अब हम LAL /KKA का उपयोग करके दिए गए अनुपातों को याद करेंगे. मुझे आशा है की आप को यह ट्रिक जरुर उपयोगी होगा –

1. Sin A = लम्ब  /कर्ण   =L/K
2. Cos A  = आधार /कर्ण  = A/K
3. Tan A = लम्ब /आधार  = L/A
4. Cot A= आधार /लम्ब   = A /L
5. Sec A= कर्ण /आधार  = K /A
6. Cosec A = कर्ण /लम्ब = K/L

निचे दिए गए फोर्मुले को भी बहुत ही अच्छे से याद कर लें इससे प्रश्नों को हल करने में काफी आसानी होगी –

h= √(l2 +b2)

l =√(h2 – b2)

b =√(h2 – l2)

इन प्रश्नों के हल करने में हम लम्ब को l से , आधार को b से और कर्ण को h से  निरुपित करेंगे.

• Idioms Phrases को हमेसा अपने दिमाग में याद रखें

• Sentence क्या है यह कितने प्रकार का होता है उदहारण के साथ समझें

Q(1). यदि Tan A =4/3 है .तो कोण A के अन्य त्रिकोणमितिय अनुपात ज्ञात कीजिये.

हल :- दिया गया है की tan A= 4/3

चुकी हम जानते है की tan A =लम्ब /आधार =l /b

दिए गए प्रश्न में-

tan A =लम्ब(l) /आधार(b) =4/3

ऊपर दिए गए value के अंस और हर में तुलना करने पर –

लम्ब =4 , आधार =3

अब हमें बाकि की त्रिकोणमितिय अनुपात को निकालने के लिए  कर्ण का value ज्ञात करना पड़ेगा इसके लिए हम पैथागोरस प्रमेय का प्रयोग करेंगे –

कर्ण 2 = लम्ब 2  +आधार 2

अब यहाँ पर लम्ब और आधार का value रखने पर –

कर्ण 2 = 4 2  +3 2 =16 +9 =25

कर्ण = √25 =5 ,लम्ब =4 , आधार =3

अब हम सारे त्रिकोण मितिय अनुपातों का मान ज्ञात करेंगे –

Sin A = लम्ब /कर्ण = 4 /5   Ans

Cos A =आधार /कर्ण =3 /5  Ans

Tan A =लम्ब /आधार = 4 /3  Ans

Cot A = आधार /लम्ब =3/4  Ans

Sec A =कर्ण /आधार = 5 /3 Ans

sec A =कर्ण /लम्ब =5 /4 Ans

Q2.कोई त्रिभुज Δ ABC है जिसका एक कोण C समकोण है जिसमे AB =29 इकाई ,BC=21 इकाई, कोण ∠ABC =θ है जैसा की निचे दिए गए fig में दिखाया गया है –

तो निम्नलिखित का मान ज्ञात करें-

1. Cos2 θ  + Sin2 θ
2. Cos2 θ  –  Sin2 θ

Solve :-  जैसा की ऊपर fig में दिखाया गया है कोण ∠B =θ के लिए कर्ण (h)=29 और आधार b =21 है और लम्ब AC का का value हमें ज्ञात करना है इसके लिए हम पैथागोरस प्रमेय का use करेंगे –

हम जानते है की – (लम्ब )2 +(आधार)2 = (कर्ण )2   ——–(1)

या   l2 + b2  =  h2 

ऊपर दिए गए समीकरण में आधार (b) और कर्ण (h)का value रखने पर

=>  l2  + 212  = 292

=>l2 = 841 -441 =400

=>l2= 400

=>l =√400 =20

l=20 , b= 21  , h = 29

Sin θ =l/k =20/29  =>Sin2θ =(20/29)2 =400/841

Cos θ =b/k =21/29 =>Cos2θ =(21/29)2 =441 /841

अब, (1)Sin2θ + Cos2θ =(400/841) +(441/841) =841 /841 =1 Ans

अब, (1)Cos2θ – Sin2θ =(441/841) -(400/841) =41 /841  Ans

Q3.यदि Tan A =1 , सत्यापित कीजिये 2 SinA .Cos A =1 .

solve:-हम जानते है की -Tan A =l/b

दिया है की -Tan A =l/b =1/1 अर्थात ,l=1 और b=1

=>h= √(l2 +b2)

=>h=√(12 +12) =√2

=>h = √2

Sin A =1/√2  ,Cos A= 1/√2

L.H.S = 2 Sin A .Cos A

=2 . 1/√2 .1/√2 =2 .(1/2)=1 = R.H.S Proved

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Q4.किसी त्रिभुज ΔOPQ में जिसका कोण ∠P =90० (समकोण ) है और OP =7cm और OQ -PQ =1 cm जैसा की निचे दिए गए fig में दिखाया गया है तो  Sin Q और Cos Q का value ज्ञात कीजिये.

solve:- त्रिभुज ΔOPQ एक समकोण त्रिभज है और हमें Sin Q और Cos Q निकालना है हम जानते है की कोण Qके लिए  कोण Q का सामने वाला भुजा OP लम्ब होगा और सलग्न भुजा QP आधार होगा. अर्थात-

l= OP =7 cm

b =PQ = ?

प्रश्न में दिया गया है की –

OQ – PQ =1

OQ = 1 +PQ

अतः हम लिख सकते है की –

h=OQ =1+PQ

पैथागोरस प्रमेय से हम जानते है की –

=> h2 = l2 + b2

=>72 +PQ2 = (1 +PQ)2

=>49 +PQ2 = 1 + PQ2 +2PQ

=>PQ2 – PQ2  + 2PQ = 49 – 1 =48

=>2PQ = 48

=>PQ =48 /2 = 24

OQ =1+PQ =1+24 =25 cm

अतः   l= OP =7 cm

b =PQ = 24 cm

h = OQ =25 cm

Sin Q =l/h = 7/25 Ans

Cos Q =b/h =24/25 Ans

Q5. त्रिभुज ABC में कोण कोण B समकोण है ,AB =24 ,BC =7 है तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिये-

(i)Sin A  ,Cos A

(ii)Sin C , Cos C

Solve :- ऊपर बताये गए निर्देसा अनुसार हम fig बनायेगें-

ऊपर दिए गए fig अनुसार कोण B समकोण है और त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है इसलिए पैथागोरस प्रमेय से –

=>AB2 + BC2 = AC2

=>7 2 +24 2 = AC2

=>49 +576 =AC2

=>625 = AC2

=>AC = √625 =25

(i)अब ,कोण A के लिए सामने वाला भुजा BC है और सलग्न भुजा AB है इसलिए -कोण A के लिए

l = BC =7

b =AB =24

h =AC =25

 Sin A = l/h=7/25 Ans 

 Cos A=b/h =24 /25 Ans

(ii)अब ,कोण C के लिए सामने वाला भुजा AB है और सलग्न भुजा BC है इसलिए -कोण C के लिए

b = BC =7

l =AB =24

h =AC =25

 Sin A = l/h=24/25 Ans 

 Cos A=b/h =7 /25 Ans

Q6. Sin A =3/4 है तो Cos A और Tan A का मान ज्ञात कीजिये.

solve:- प्रश्न में दिया गया है की –

Sin A =l/h =3/4 अतः l =3 , h =4

अब हम जानते है की – b =√(h2 – l2)

=> b = √(42 – 32) =√(16-9) =√7

=>b=√7 , l =3 और h =4

Cos A = b/h =√7/4 Ans

Tan A = l/b =3/√7  Ans

• Ion Electron Method के प्रयोग से Redox Chemical Equation को balance करें

• Partial Equation methods प्रयोग करके Chemical Equation को balance करना सीखें

Q7. Cot A =8/15 है तो Sin A और Sec A का मान ज्ञात कीजिये.

solve:- प्रश्न में दिया गया है की –

Cot A =b/l =8/15 अतः b =8 , l =15

अब हम जानते है की – h= √(l2 +b2)

=> h= √(82 + 152) =√(64+225) =√289 =17

=>h=17

=>b=8 , l =15 और h =17

Sin A = l/h =15/17 Ans

Sec A = h/b =17/8  Ans

Q8. Sec A =13/12 है तो अन्य त्रिकोंणमितीय अनुपातों  का मान ज्ञात कीजिये.

solve:- प्रश्न में दिया गया है की –

Sec A =h/b =13/12  अतः b =12 , h =13

अब हम जानते है की – l= √(h2 – b2)

=> l= √(132 – 122) =√(169 – 144) =√25 =5

=>l=5

=>b=12 , l =5 और h =13

Sin A = l/h =5/13 Ans

Cos A =b/h =12/13 Ans

Tan A =l/b =5/12 Ans

Cot A =b/l =12/5 Ans

Sec A = h/b  = 13/12  Ans

Cosec A =h/l =13/5 Ans

Limitations of Trigonometric Function

दोस्तों Trigonometric function  के कुछ limitations है जिसे हमें ध्यान में रखना बहुत जरुरी होता है जो की निचे दिया गया है-

(1) -1 ≤ Sin A , Cos A ≤+1    :- Sin A और Cos A का value हमेसा -1 और +1 के बिच में होता है .

(2)-∞ ≤ Tan A , Cot A ≤ +∞   :- Tan A और Cot A का value हमेसा -∞ से +∞ तक होता है .

(3)-1 ≥ Sec A ,Cosec A ≥+1   :-Sec A और Cosec A  का value -1  से छोटा और +1 से बड़ा होता है .

ऊपर दिए गए नियम को आगे के higher classes में जब आप पढेंगे तो समझ में आ जायेगा ,वैसे आगे चलकर हम इसके बारे और detail से चर्चा करेंगें.

हम इस पोस्ट में केवल हमने Trigonometry के basics के बारे में हिं चर्चा किया है इसलिए यदि आप  Trigonometry को समझना चाहते है तो ऊपर दिए गए परिभासा ,फोर्मुले और नियमों  को हमेसा अपने दिमाग में याद रखें.

यदि आपके दिमाग में इस टॉपिक से Related कोई भी प्रश्न हो तो हमें जरुर कमेंट करें मै आपसे वादा करता हूँ आपको आपके प्रश्न का हल जरुर दिया जायेगा.

दोस्तों finally मै आसा करता हु की Trigonometry के Basic Concept आपको समझ में आ गया होगा .यदि इस पोस्ट में आपको कोई doubt हो या कुछ न समझ में आया हो  तो हमें कमेंट के जरिये बताये  यदि आपको हमारा यह पोस्ट पसंद आया हो तो इसे like करे share करे-

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